D. Slanina per savo karjerą yra rungtyniavęs Šiaulių "Šiaulių", Kauno "Žalgirio", Sevilijos „Caja San Fernando“ (dab. "Cajasol"), Sopoto „Prokom Trefl“ (dab. Gdynės "Assecco Prokom"), Mursijos "Murcia" ir „Trenkwalder“ klubuose.
Krepšininkas 2003 metais yra tapęs Europos čempionu su Lietuvos vyrų rinktine, Lietuvos krepšinio lygos (LKL) čempionu ir du kartus Lenkijos krepšinio pirmenybių čempionu.