Perspektyvaus futbolininko karjera pastaruoju metu sparčiai kyla į viršų. Vilniaus „Žalgirio“ naujokas birželio mėnesį debiutavo Lietuvos nacionalinėje rinktinėje ir joje iškart spėjo užimti tvirtą poziciją. Lietuvos futbolo A lygoje L. Klimavičius sužaidė 33 rungtynes ir pelnė tris įvarčius.
Panevėžietis viso sezonu metu ne kartą buvo renkamas į simbolinę A lygos turo rinktinę, tad savo vietos neužleido ir galutinėje geriausių metų žaidėjų rikiuotėje. Jis kartu su kitu žalgiriečiu Semiru Kerlu sudarė simbolinę patikimiausių vidurio gynėjų porą.
L. Klimavičius profesionalo karjerą pradėjo 2006 metais „Ekrano“ klube. Po metų jis buvo išrinktas geriausiu Baltijos lygos jaunu žaidėju ir iš Panevėžio persikėlė į Marijampolę. „Sūduvos“ gretose gynėjas taip pat ilgai neužsibuvo.
2008 m. sezone futbolininką į savo gretas pasikvietė Ukrainos Dniepropetrovsko „Dnipro“ klubas, kuris vėliau lietuvį nuomos pagrindais perleido kitai Ukrainos ekipai Kryvyj Riho „Krivbas“. Prieš sugrįždamas į gimtinę L. Klimavičius 2013 m. sezoną praleido Latvijos sostinės komandoje Rygos „Daugava“.
Po klajonių užsienyje žaidėjas 2014 m. Lietuvos A lygos sezono starte prisijungė prie „Trakų“ vienuolikės, kuriai sėkmingai atstovavo iki šiol.
Vilniaus „Žalgirio“ komandoje L. Klimavičius rungtyniaus 2-uoju numeriu pažymėtais marškinėliais. Šis numeris pastaraisiais metais priklausė Andriui Skerlai ir Deividui Šemberui.
L. Klimavičius žiniasklaidai oficialiai bus pristatytas antradienį Vilniaus miesto savivaldybėje kartu su kitu komandos naujoku Sauliumi Mikoliūnu.