Anksčiau A. Veikutis yra rungtyniavęs Vilniaus "Geležinio Vilko", Vilniaus "Šviesos" (dabartinis "Vilnius"), Marijampolės "Sūduvos" ekipose, taip pat žaidė Rusijos, Danijos komandose.
Pradėjęs karjerą "Žalgirio" jaunimo mokykloje ir kurį laiką žaidęs antrinėse komandose, A. Veikutis pagrindinei sostinės klubo ekipai atstovavo 1999-2001 metais. 1999 metais su žalgiriečiais jis tapo Lietuvos čempionu.
Sostinės ekipa šiuo metu derasi su dar vienu žaidėju. Kontraktas su juo gali būti pasirašytas artimiausiu metu, tuomet komandos komplektacija naujam sezonui būtų baigta.