27 metų vidurio saugas yra vieno stipriausių Kroatijos klubų „Osijek“ auklėtinis, šioje ekipoje 2008-aisiais ir pradėjo profesionalo karjerą. 2013-aisiais futbolininkas perėjo į „Rijeka“, kuri po sezono metams jį paskolino „Zadar“ ekipai.
2015 metais D. Pušičius išvyko į Šveicariją ir vieną sezoną atstovavo „Lugano“. Po metų saugas grįžo į „Osjjek“, kuriam atstovavo iki šios metų vidurio.
Kroatijos aukščiausioje lygoje D. Pušičius yra sužaidęs 170 rungtynių, buvo kviečiamas į savo šalies U18, U19 ir U20 rinktines.
„Sūduva“ su naujoku sudarė sutartį iki 2020 m. sezono pabaigos. Marijampolėje saugas vilkės 25 numeriu pažymėtus marškinėlius.
Neseniai prie „Sūduvos“ prisijungė kitas kroatas Karlo Bručičius, o iš viso šiuo metu klube yra penki šios šalies atstovai.
