48 metų E.Bajarūnas diplomatinę tarnybą pradėjo 1994 m. ir vadovavo Užsienio reikalų ministerijos (URM) Daugiašalių santykių skyriui. Nuo 1996 m. E.Bajarūnas dirbo Briuselyje Lietuvos misijos prie NATO patarėju, 1999–2000 m. diplomatas buvo Užsienio politikos planavimo skyriaus vedėjas, 2001 m. paskirtas Pirmojo dvišalių santykių departamento direktoriumi. 2003–2004 m. E.Bajarūnas buvo Lietuvos prezidento patarėju. 2004 m. diplomatas vadovavo URM Europos šalių departamentui.
Nuo 2009 m. ambasadorius ypatingiems pavedimams E.Bajarūnas yra Užsienio reikalų ministerijos politikos direktorius.
2005–2008 m. jis vadovavo Lietuvos generaliniam konsulatui Sankt Peterburge (Rusija).
E.Bajarūnas yra baigęs Vilniaus universiteto Matematikos fakulteto taikomosios matematikos specialybę, Londono karališkajame koledže įgijo menų magistro laipsnį (tarptautinių santykių srityje). Jis taip pat yra baigęs Londono karališkąjį gynybos studijų koledžą, yra stažavęsis tarptautinių santykių ir saugumo politikos srityje Čekijoje, JK, Švedijoje ir Vokietijoje.
E.Bajarūnas yra apdovanotas Krašto apsaugos ministerijos medaliu „Už nuopelnus išvedant Rusijos armiją“, ordino „Už nuopelnus Lietuvai“ Riterio kryžiumi, Estijos, Portugalijos valstybiniais apdovanojimais, URM medaliu, skirtu Lietuvos stojimui į NATO ir ES.
Lietuvos ir Švedijos diplomatiniai santykiai atkurti 1991 m. rugpjūčio 28 d. E.Bajarūnas taps penktuoju Lietuvos ambasadoriumi šioje šalyje.