A. Gailiūnas gimė 1948 m. Joniškio rajone. 1977 m. baigęs Vilniaus universiteto Teisės fakultetą įgijo teisininko kvalifikaciją. 1977-1978 m. jis dirbo Utenos Vykdomojo komiteto Žemės ūkio valdyboje juriskonsultu, o 1978 m. pradėjo teisėjo karjerą – tapo Skuodo rajono teismo teisėju, vėliau – šio teismo pirmininku. 1987-1990 m. A. Gailiūnas dirbo Prienuose teismo teisėju ir šio teismo pirmininku. 1990 m. A. Gailiūnas tapo Lietuvos Aukščiausiojo Teismo teisėju, o po trejų metų – Lietuvos Respublikos Konstitucinio Teismo teisėju trejų metų kadencijai. Nuo 1996 iki 1998 m. A. Gailiūnas dirbo teisėju Lietuvos apeliaciniame teisme, o nuo 1998 m. – Klaipėdos apygardos teismo teisėju ir šio teismo pirmininku iki pat šių metų vidurio. Nuo 2002 iki 2006 m. Algirdas Gailiūnas buvo Teisėjų tarybos narys.