Kas bendro tarp augančių kainų, atominių bombų ir bakterijų?

Naujienų antraštės dažnai su džiaugsmu praneša apie ekonomikos, ūkio ir žmonių atlyginimų (o kartu, neišvengiamai, ir kainų) augimą. Žinios skuba mus informuoti apie ūgtelėjusią gerovę, o padidėjęs gyventojų skaičius yra pateikiamas kaip sensacija.

Kompiuterijos specialistai bei kompiuterinės įrangos pardavėjai kasmet skatina mus pirkti vis galingesnius kompiuterius, o mobiliųjų tinklų operatoriai nepavargsta skambinti mums ir kviesti ateiti į saloną užsisakyti naujesnio ir galingesnio telefono. Nekalbu apie moksliniuose portaluose su džiaugsmu pranešamas naujienas apie netolimoje ateityje galimą kokybiškai naują žmonijos gyvenimą. Kas gi bendro taip visų šių dalykų?

Tikslių mokslų atstovams atsakymas nuskambės banaliai: eksponentė. Kas gali būti matematikoje nuobodžiau už eksponentę? Suintegruok eksponentę, ką gausime? Eksponentę! Suskaičiuokime jos išvestinę, ką matome? Vėl „nemirtingą“ eksponentę… Eksponentė teoretikams yra viena nuobodesnių funkcijų, tačiau ji stebėtinai dažnai sutinkama mus supančiame pasaulyje: biologijoje, fizikoje, chemijoje, ekonomikoje ir kitur.

Tai kas gi ta eksponentė yra? Eksponentinis procesas tai yra toks procesas, kuomet kažkas padvigubėja po tam tikro laiko. Geriausias pavyzdys būtų vienaląstės bakterijos: ką tik turėjome vieną bakteriją, o praėjo kažkiek laiko, ir štai jau dvi bakterijos. Duokime joms dar laiko, tuomet jau turėsime ne dvi, o keturias bakterijas. Po tiek pat laiko bus jau 8 bakterijos, dar po tiek laiko 16 bakterijų, o vos tik mes nusisuksime (arba užsižiopsosime) ir jau bakterijų nebesuskaičiuoti!

Eksponentė yra gana “klastinga” funkcija – jei ją lyginsime su tiese arba su kubu, tai pamatysime, jog ji gana lėtai auga pradžioje ir atsilieka tiek nuo tiesės, tiek nuo kubo. Tačiau po kažkiek laiko ji labai staigiai aplenkia ir tiesę, ir kubinę funkciją.

Su šia funkcija yra susijusi tokia įdomi senovinė istorija. Kartą Indijos sultonas nutarė atsidėkoti ištikimam tarnui – mokslininkui, kuris išrado šachmatų žaidimą ir taip gerokai praskaidrino sultono kasdienybę. Sultonas paklausė, ko išminčius norėtų už tokį puikų žaidimą. Mokslininkas atsakė sultonui, jog jis norėtų ne tiek jau ir daug. Jis norėtų tiek ryžių grūdų, kiek jų tilptų 64 šachmatų lentos langeliuose, tačiau kiekvienam langelyje turi būt dvigubai daugiau grūdų negu prieš tai buvusiame. Pirmame langelyje būtų vienas grūdas, antrame – du, trečiame – keturi ir t.t. Sultonas tik garsiai nusijuokė iš išminčiaus noro: „O, kvailas mokslininke, tu prašai tiek mažai! Be abejo patenkinsiu tavo norą“. Sultono iždininkams pradėjus sverti grūdus, netikėtai paaiškėjo, kad net neįpusėjus pasibaigė sultono ryžių atsargos! Ak ta klastinga eksponentė… Sultonas net negalėjo įsivaizduoti, kad vien tik pirmuose 32 lentos langeliuose turėjo sutilpti apie 100 000 kg ryžių… Nekalbu apie visus langelius – ten bendras ryžių skaičius būtų 2⁶⁵ grūdeliai, o jų bendras svoris bus jau 2.3*10¹⁴ tonų. Tai yra 0,2 kvadrilijonų tonų, arba masė lygi dešimtadaliui viso mūsų planetos vandens! Ir tai tėra tik 64 lentos langeliai. Kitaip tariant, eksponentinis dėsnis bet kurią problemą tiesiog „paima“ savo brutaliu augimu.

Aktualesnis pavyzdys būtų taip vadinamas Moore'o dėsnis, suformuluotas Gordono Moore'o, vieno iš korporacijos „Intel“ įkūrėjų. 1965 metais mokslininkas pastebėjo, kad integruotoje mikroschemoje esančių komponenčių skaičius auga eksponentiškai, o 1975 metais suformulavo savo garsų dėsnį: kas dvejus metus mikroschemoje esančių elektroninių komponenčių skaičius padvigubėja. Taip atsitinka dėl to, kad technologai kas dvejus metus išmoksta pagaminti dvigubai mažesnio ploto tranzistorius: jei 1974 metais charakteringas tranzistoriaus dydis buvo 6 mikrometrai, 1994 metais jis buvo 600 nanometrų, o 2006 metais – jau 65 nanometrai, kas atitinka 10 000 kartų mažesnius dydžius! Dabartinių „Intel“ procesorių charakteringas tranzistoriaus dydis yra 14 nanometrų, arba vos kelios dešimtys atomų!

Moore'o dėsnis turi ir keletą alternatyvių formuluočių. Viena iš jų teigia, kad mikroschemos našumas vienam vatui padvigubėja kas 1,8 metų, kita sako, kad mikroschemos taktinis dažnis (greitis su kurio procesorius veikia) padvigubėja kas 1,6 metų. Būtent šių formuluočių dėka futuristas Ray'us Kurzweilas pradėjo kalbėti apie technologinio singuliarumo koncepciją. Kompiuteriams kas porą metų dvigubai greitėjant, anksčiau arba vėliau ateis laikas, kuomet kompiuterių galia bus pakankama tam, jog atsirastų dirbtinis Superintelektas. Robotai taps protingesni už protingiausią žmogų, o technologijos ir mokslas taptų tokie sudėtingi, kad taptų žmogui nebesuprantami ir mums tektų užleisti protinę veiklą superprotingiems kompiuteriams. Šie protingi robotai patys save tobulintų, patys save projektuotų, na o žmogus laikui bėgant galėtų persikelti į elektroninę erdvę ir gyventi amžinai!

Mūsų rega ir klausa taip pat yra susijusios su eksponentiniu dėsniu. Jei mes pagarsiname išmaniajame telefone grojamą dainą keturis kartus, mes padidiname iš kolonėlių link mūsų atkeliaujantį garso slėgį net 16 kartų! Roko koncerto metu grojamos muzikos garsas mums atrodo esantis apie dešimt – dvylika kartų garsesnis už šnabždesį, tačiau garso bangų slėgis yra beveik milijoną kartų didesnis! Panašiai į šviesos intensyvumo pokyčius reaguoja ir mūsų akis, kuri moka prisitaikyti ir prie prieblandos, ir prie skaisčios saulėtos dienos.

Mūsų ekonomikoje ir finansų teorijoje taip pat lengva surasti eksponentinį augimą. Produktų ir paslaugų kainos auga eksponentiškai. Įvairios finansinės piramidės taip pat auga eksponentiškai. Virtualių valiutų („BitCoin“ ir t.t.) vertė taip pat auga eksponentiškai, kadangi jų kasybai būtina kompiuterinė galia yra dirbtinai padvigubinama kas kiek laiko. Žaidžiate su draugais kompiuterinį žaidimą internete? „Diablo“, „Lineage 2“, „Aion“ ir dar aibė kitų „Korėjos“ dizaino žaidimų išnaudoja eksponentę tam, kad paverstų Jus savo vergais. Kai vos tik pradedate žaisti, jūsų kompiuterinio žmogeliuko patirtis ir „lygis“ auga kaip ant mielių. Jums įgavus patirties, šis augimas pasidaro lėtesnis, o kuomet priartėjate prie savo geriau apsiginklavusių ir labiau patyrusių kompiuterinių draugų, šis progresas sustoja ir juda vos ne vėžlio greičiu! Net lengvesni „Vakarų“ dizaino žaidimai (pvz. „World of Warcraft“) mėgsta po pradinio tiesinio augimo staiga pereiti prie eksponentinio. Taip žaidimo kūrėjai užtikrina prisirišimą ir savo pajamas.

Gamtoje yra daug pavyzdžių, kur pasireiškia šis dėsnis. Tai ir bakterijų daugyba, ir virusinės infekcijos plitimas. Kuomet gyvūnai neturi natūralaus priešo, jų populiacija auga pagal eksponentinį dėsnį. Taip yra atsitikę Australijoje, kur kolonistai atvežė kiškius, išplitusius po žemyną ir ne tik sujaukusius visą ekosistemą bet ir pridėjusius prie rimtos dirvožemio erozijos. Žmonių populiacija planetoje taip pat ilgą laiką augo pagal eksponentinį dėsnį ir tik dabar tas augimas sulėtėjo.

Kodėl yra svarbu žinoti ir gerai suprasti šį dėsnį? Gera užuomina į galimą atsakymą būtų tai, kad eksponentinis dėsnis yra sutinkamas ir branduolio fizikoje: grandininė branduolinė reakcija yra labai geras eksponentės pavyzdys. Atominės bombos, nelaimės branduolinėse jėgainėse – visa tai yra nekontroliuojamo eksponentinio augimo pavyzdžiai. Kitas geras eksponentinio augimo pavyzdys būtų navikinių ląstelių plitimas žmogaus kūne. Kitaip tariant, vėžys yra „branduolinė bomba“ mūsų kūnui.

Dažną iš mūsų džiugina pranešimai apie augantį šalies ūkį: Lietuvos ūkis pernai augo 2,9 procento. Bankai suteikia už terminuotus indelius eurais panašias metines palūkanas – iki 3 procentų. Bet šie skaičiai atrodo gana maži ir nebaisūs. Padėsi į banką tūkstantį eurų, gausi tik 30 eurų per metus… Tačiau paklauskime, o kiek mes turėtume pinigus laikyti banke, kad jie padvigubėtų? Atsakymą galima rasti iš gana paprastos formulės. Reikia paimti skaičių 70 ir padalinti jį iš procento, atsakymas bus metai. Jei mes daliname iš trijų, patogu paimt kitą artimą skaičių – 69. Daliname ir gauname 23 metus. Po tiek laiko mūsų tūkstantis eurų virs 2 000 eurų! Dar po 23 metų mūsų tūkstantis virs jau 4 000 eurų! O dar po 23 metų turėsime net 8 000 eurų! Kitas pavyzdys – pasaulio gyventojų augimo tempai. Dabartiniais duomenimis, gyventojų kiekis pasaulyje kas metus padidėja 1,2 procentais. Po kiek laiko gyventojų padvigubės? Sustatome skaičius ir gauname atsakymą – po 58 metų. Ką tai reiškia? Jei dabar pasaulyje gyvena 7,1 mlrd žmonių, po 116 metų pasaulyje gyvens jau 28,4 mlrd! Daugoka? Tikrai taip!

Kad suprastume eksponentinio augimo pavojus, reikėtų įsivaizduoti tokią situaciją. Tarkime, mes stebime mėgintuvėlyje vieną bakteriją, kuri kas minutę dalijasi per pusę. Įsivaizduokime, kad mes pradėjome stebėti bakterijas indėlyje tuomet, kada bakterijos užėmė 0,78 procento viso mėgintuvėlio. Na, tikrai mažai. Kas tas vienas procentas? Tačiau po minutės bakterijos pasidalins per pusę ir jau užims 1,56 procento mėgintuvėlio. Dar po minutės jos jau užims 3,12 procento. Jei mes nueisime keturioms minutėms pasidaryti kavos, grįžę mes nustebsime: bakterijos bus užėmusios pusę mėgintuvėlio! Dar minutė ir nebeliks laisvos vietos!

O dabar įsivaizduokime vietoje mėgintuvėlio mūsų planetą, o vietoje bakterijų – žmogų. Mūsų planetoje sausuma užima 148 mln kvadratinių kilometrų plotą, vidutiniškai vienam kvadratiniam kilometrui tenka 47 žmonės. Ką reiškia tie 58 metai? Jei žmonija augs taip pat, kaip augo, po 116 metų viename kvadratiniame kilometre gyvens 188 žmonės, o po 232 metų jau 752! Gana akivaizdu, jog po kelių šimtų metų žmonės tiesiog nebetilps planetos paviršiuje.

Ir planetos paviršius yra mažiausia iš problemų. Didesnė problema yra gėlo vandens kiekiai planetoje, didesnė bėda yra išauginamo maisto kiekiai. Nereikėtų pamiršti ir apie sparčiai augančius trečio pasaulio šalių poreikius. Jei Europos šalių energijos poreikiai auga lėtai ir padvigubės tik per artimiausius 180 metų, o JAV energijos poreikiai padvigubės tik po 60 metų, trečio pasaulio šalių elektros energijos poreikiai sparčiai auga. 2010 metais Kinija suvartojo tiek pat elektros energijos kiek JAV, o jos energetiniai poreikiai auga apie 8 procentus per metus. Galima šį procentą įstatyti į formulę ir gausime, kad po 9 metų Kinijai reikės dvigubai daugiau elektros energijos nei JAV! Indija 2010 metais sunaudojo trečdalį to, ką suvartojo Europa. Duokite Indijai 28 metus (du kartus po 14) ir Indija aplenks ir Europą ir JAV! O kur dar Afrika ir Lotynų Amerika?

Saulės energetika turi milžinišką potencialą: Saulės spindulių atnešama energija per keletą valandų patenkintų metinius žmonijos poreikius! Pastačius Sacharoje 254 x 254 km (64 516 km²) kvadratiniame plote km plote Saulės energijos jėgainių, tyrėjai teigė galėsiantis padengti viso pasaulio 2005-jų metų elektros reikmes! Tačiau tarp dabarties ir 2005 metų praėjo 10 metų, todėl Kinijos reikmė išaugo daugiau nei dvigubai ir dabar sudaro beveik pusę pasaulinių reikmių! Dar 8 metai, ir Kinijai gali reikėti 70-75 procentų pasaulio energijos, o tyrėjų apskaičiuoto ploto užstatyti jėgainėmis nebepakaks.

Pasmalsaukime, per kiek laiko Saulės elektrinių plotas išaugtų iki Sacharos dydžio, jei Kinija būtų pagrindinė šių jėgainių klientė? Visas Sacharos plotas yra 9 400 000 km², o 2005 metų vertinimų paskaičiuotas plotelis sudaro 0,68 procento. Praėjus 8 metams, Kinijos poreikiai padvigubėtų, tad prireiktų jau 1,3 procentų visos dykumos. Po dar 16 metų Kinijai tektų užstatyti 5 procentus Sacharos Saulės jėgainėmis. Dar po 16 metų šis plotas išaugtų iki 21 procento Sacharos. Kažkur ties 2070 metais Kinijai tektų užstatyti Saulės elementais visą dykumą! Ir, nors nėra garantijų, kad Kinijos energetinis apetitas išliks toks pats didelis, tačiau tai tik atitolins problemą dešimtmečiais. O pamačius šią eksponenės nesuvaldomą „galią“, kyla mintis: ar nebus branduolinė energetika dar viena žalia alternatyva?

Kaip matote, tie mažyčiai augimo procentai, prie kurių mes esame taip pripratę ir kurie mus greičiau džiugina negu gąsdina, virsta tikrais monstrais, vos tik mes surandame stambesnę laiko skalę.